1699 제곱수의 합

문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=32+12+12(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=22+22+12+12+12(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

 

문제 분석

n+1의 길이를 갖는 dp를 선언하여 

dp[i] 는 i를 만드는데 필요한 제곱수의 최소 갯수를 기록하면 되는 문제이다.

처음에는 1개의 항으로 만들 수 있는 경우를 기록하기 위해

const dp = Array.from({ length: MAX + 1 }, () => INF);
dp[0] = 0;
dp[2] = 2;
dp[3] = 3;
for (let i = 1; i * i <= MAX; i++) {
    dp[i * i] = 1;
}

이후로는 숫자 4부터 시작하여 1부터 가능한 제곱수들을 빼주어 최솟값을 기록

for (let num = 4; num <= MAX; num++) {
    let s = 1;
    while (s * s <= num) {
        dp[num] = Math.min(dp[num], dp[num - s * s] + dp[s * s]);
        s++;
    }
}

s의 제곱수를 만드는 최소 dp + (현재 탐색 수-s제곱수)를 만드는 최소 dp를 더하여

dp[현재값]을 비교

const input = require('fs')
    .readFileSync(process.platform === 'linux' ? '/dev/stdin' : './input.txt')
    .toString()
    .trim()
    .split('\n');

const MAX = 100_000;
const n = +input[0];
const INF = 1_000_000_000;
const dp = Array.from({ length: MAX + 1 }, () => INF);
dp[0] = 0;
dp[2] = 2;
dp[3] = 3;
for (let i = 1; i * i <= MAX; i++) {
    dp[i * i] = 1;
}
for (let num = 4; num <= MAX; num++) {
    let s = 1;
    while (s * s <= num) {
        dp[num] = Math.min(dp[num], dp[num - s * s] + dp[s * s]);
        s++;
    }
}
console.log(dp[n]);